【奧數揭秘】同一題目問法多 舊瓶新酒細品味
問題：圖一中共有七個圓圈，在圓裏填上1至7，每個數只能用一次，使得沿着各條直線上的三個數，共五個和都是一樣。那麼左下角的圓圈裏，不能填什麼數字？
答案：
考慮到1至7的總和是28，除了最上方的數，其餘6個數加起來的和記為P，這個P可以有兩種看法。
如圖二裏，三條線段標示了s的相鄰兩個圈裏的數，加上最上方的數，和都是一樣的，因此沒加上最上方的數，兩個圈裏的數的和都是一樣，這個和可記為s。故此P就是3s。
兩條橫線上各有三個圈，裏邊的數加起來，都是一樣的，可以記為t，故此P可記為2t。
因為P可以寫成3s和2t，因此是6的倍數，而28減去最上方的數，由於那數只能是1至7其中之一，減出來的差只能是24，而最上方的數只能是4，故此不可以出現在左下角。
其餘各數，留意到上下兩橫行是可以對調，也不影響各個和，另外，三條標示為s的線段相鄰的兩個圈分成一組時，三組也可以互換位置，又不影響總和。也就是說，4以外的數，可以出現在下方六個圈裏任何一個裏。
因此只有4不能出現在左下角。
這題做起來，看到除了上方那個數，其餘六個數有兩種看法，可以橫看和由上而下地看，橫向兩組，由上而下則有三組，從而找到其餘六個數是6的倍數，因此找到剛好小於28的24為六數之和，即最上方必為4，不能出現在左下角。
有時在小一小二的題目裏就有類似的問法，就是填個數字入圓圈那樣，試幾個情況，然後看看各線上加起來有沒有符合各個條件。對於初小來說，能寫到這樣已經不錯了，至少加法上是穩妥的，思考夠靈活，題目條件也理解正確。要是到了較高年班，能多列舉幾個情況出來，就更能歸納共通的法則。比如，看到上下兩橫行可以互換，或者直接全部列舉出來，水平就有所提高了。
若果學生可以在代數的層次上，去理解題目裏各組數加起來有什麼關係，從而找到當中的線索，比如最上方的數必定為4，過程中用了解方程組的方法，或者一些整數性質；比如整除性，或者其他數論知識，那又是層次更好的表現。若果還看到各樣互換關係，說得通下方其中一個數可以出現在任何位置，那又更好。
同一道題目，問法略作變化，就可以考察各個年級的解題能力。比如問初小，可以問他們找到一個同直線上總和一樣的填法，要是問起高中或初中，可以問他們有多少個不同的填法。若果問高中生，也就可以用這次的問法，問題看起來又多兩分陌生感。
在圓圈裏填數字，其實可以有多種變化，多花心思去推廣一下初等的問題，也可以有新發現。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
