【奧數揭秘】深入研究數學 探索前人足跡
問題：在1001001001的因數中，找出大於100的最小數。
答案：在該數的表面看來，易分解成1001×1000001，當中1001=7×11×13，而1000001=10⁶+1，運用恒等式，可分解成(10²+1)(10⁴－10²+1)=101×9901。
當中101就是因數當中，大於100的最小數。
這次談一道關於因數的問題。
解題時，從該數表面的形式中，容易看出能分解的1001，之後在1000001當中，觀察到化成算式後，可用常見的立方和的恒等式再進一步分解，然後就找到了剛好大於100的因數101。
這題來說，初步分解之後觀察到要用上恒等式，也是難點之一。要是題目改動一點，把要找到的因數變成小於且最接近10000的因數，或者最接近9000的因數，想法就要再推進一步。
比如，若要小於且最接近10000，那看來就以是題解裏的9901，這當中還要顧及這個數是否為質數，若不是質數，分解起來可能跟其他因數乘起來又會更接近10000。不過檢查後發現這個9901確實是質數，而其餘的質因數7，11，13和101，也無法選取其中一部分相乘，得出更接近10000的因數。
判斷9901是否為質數，就是數學裏談起質數判定的問題。初步來說，就是先用一些較小的質數，看看能否整除這個數，比如用2，3，5，7，……依次試着整除，9901≈試到99.5，即是質數97就可以了。那樣看來挺麻煩的，有25個質數。有時競賽裏的題目，要做質數判定的部分，有些數較大的，做檢查有些麻煩。
這裏談起的初步判定做法，也只是比較常規的想法而已，若讀者有興趣的話，可以思索一下有沒有其他簡潔的判定方法。
要是題目條件，改成最接近9000的因數，那就要留意了，因為表面看來，9901已經很接近9000，但實際上又有更接近的，就是7×13×101=9191。這裏剛好是9901以外的質因數能拼出來，但說到底，若果要準確判斷9191是不是最接近9000的因數，還是避不開判斷9901是否為質數的問題。
做題時固然可以順着題目的條件，做完了就可以；只是若改動條件，就會看到當中涉及質數判定，這個在數學裏又是一個深入的問題，追溯下去的話會看到許多數論的知識，有許多相關的結果。
有時競賽裏的問題，就是假設着一個情景，按學生的水平提出各樣問題。在探索之中，有時改動條件就會看到題目的不同面貌，當中有部分是數學裏的大問題，追問下去就能探索到各個層次的數學，從而開闊眼界。
學習競賽數學的過程中，由一題之中看到跟傳統數學問題有聯繫，或是跟一些應用廣泛的數學理論有聯繫，從而引起探索的動機，可以說是學習競賽數學的重要價值之一。
數學能力的發展，由初步在競賽之中的靈活應變，然後一步步探索前人的足跡、看到古今中外的數學發展、了解前人的結果與心得，便是摸索到一種好的發展方向。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
